数学如何杀死了雷曼兄弟

2001年一个阳光明媚的上午，一项投资计划落在雷曼兄弟（Lehman Brothers）当时的行政长官迪克·富尔德（Dick Fuld）的桌子上。由一组数学和物理学博士们汇编的这份文件通过计算结果，显示如果他们投资于房地产市场，银行将如何总能最终获得利润。这给富尔德留下了深刻的印象，并导致了未来五年里这个银行借贷数十亿美元投资房地产市场。它成功了。房地产市场的繁荣已将雷曼兄弟由一个中等规模的公司变成世界第四大投资银行。

但是，随着住房市场开始萎缩，那些博士们的假设开始逐一失去。投资现在变成了一个错误，导致一个惊人的613亿美元损失。2008年9月15日雷曼兄弟（Lehman Brothers）崩溃，维基百科描述这是“美国历史上最大的破产案”。

赚钱模式

倒闭前的雷曼兄弟总部，纽约洛克菲勒中心（图片来源： David Shankbone)

想象你正为雷曼兄弟工作。一天早晨，你接到来自汇丰银行的一个电话：

嗨！一百个客户每人向我们借100万美元一年。我们想购买你们的保险以防止他们违约。从申请表格来看，我们认为他们每个人有3％的违约几率。多少保险费用比较合适？

事实上，这很容易计算：100个客户，每个有3％的违约机会，则预期三个客户明年违约。也就是说，明年你将需要支付300万美元。假设利率每年为3％，明年的300万美元目前值得3/（3/100+1）＝3/1.03=291万美元。

因此，汇丰银行将不得不支付你至少291万美元用于保险。当然，雷曼兄弟不是一个慈善机构，因此，为了赚钱，他们将增加一倍的价格也就是582万美元，并预期这些交易平均可赚291万美元。这种保险被称为信用违约掉期（CDS）。

传奇的CDO

看起来像是安全的投资？请三思而后行！

放下电话后，你可能很担心如果10个借款人违约会发生什么，因为那样的话你就必须支付一千万美元！在这种情况下，考虑这下面的计划：先支付我一定的保险金，如果超过10个违约，你将只需要支付10个，其余的我来支付。如果小于10个违约，你将必须支付所有的违约，而我不支付任何费用。我提供的这类交易计划被称为债务抵押债券（CDO）的高级档，而你得到的那个被称为CDO的初级档。

高级档的吸引力是，几乎所有的时侯我都不必支付任何费用，只是将我得到的保险费往兜里揣。试想一下，有超过10个借款人违约的可能性是多么地微乎其微！高级档被普遍认为与从政府借钱同样安全。由于高级档提供了一个更好的回报，又像把钱存在银行里一样安全，投资者太喜欢它了。在2004年，发型的CDO仅有157.4亿美元，但到2007年，金额同比增长至481.6亿美元。

可以像银行存款一样安全，但又可以得到一个很高的回报，你不觉这事美得有点不公平吗？

金融陷阱

是的，这是不公平的！事实上，CDO风险比银行存款大很多，但雷曼兄弟和许多投资者一样，似乎并没有意识到这一点。让我们回到原来的模型。第一种错误的来源是，我们认为每个投资者都有一个3％的违约机会。我们怎么知道的呢？它一定来自历史数据。问题是，20世纪20年代大萧条以来还没出现过一次全国住房价格同时下降，因而借款人违约可能性的计算是基于住房价格大幅上涨的好时期。然而，房地产市场在2007年崩溃。现在，许多借款人的财产估价小于他们应付的贷款数，因此许多人拒绝支付。更糟的情况是，22％的借款人是所谓的次级抵押贷款的借款人------那些人几乎没有收入，没有什么还钱本钱。银行不害怕把钱借给他们，因为即使他们违约，保险公司也将会支付损失。次级抵押贷款借款人的参与，使得贷款比以前更具风险。

2008年9月15日的晚上，雷曼兄弟总部（图片来源：Robert Scoble）

事实上，违约风险在美国翻了两番，从违约概率模型所假设的3％到2007年以来的12％，这样意味着风险增加了四倍。也就是说，像雷曼兄弟这样的银行有可能会受到比他们预期高4倍的重创。

事实比这更要糟糕。比CDS和CDO复杂得多的金融产品的盈利性还依赖于违约概率的平方，而不是概率本身。当违约概率从0.03上升到0.12，概率的平方从0.0009 上升到0.0144------这是一个16倍的增加因子！

还有第二个是更微妙的错误来源。出售CDO的银行保险是否可以赚钱，取决于借款人是否能还钱，而这反过来又取决于经济。因此，如果经济瘫痪了，你更有可能要赔钱。如果是一个积极的投资者，那么可能同时也在股市上投资。现在，如果股市崩溃，则投资在股市和CDO的钱双输。我们的模型中的错误是，我们还没有考虑CDO依赖市场的这种额外的风险。

认识不到这两个错误，就可能悲剧性地忽略CDO风险。事实上，当人们认识到CDO的风险时，由美林发行的30种CDO中的27种，其评级已从AAA（最安全的投资）下调至“垃圾”了。

雷曼兄弟倒下了

可怜的雷曼兄弟当时并不知道这隐藏的风险，决定对CDO大投资。它甚至有一个35比1的债务与股东权益比率，也就是说，在其银行帐户上的每36美元它仅拥有1美元------其他35美元是从其它地方借来的。这意味着若其资产有3％的损失，就会失去它的所有资本。在遭受CDO重大损失之后（超过其资产负债的3％），借款人开始失去信心。由于雷曼一直依赖短期贷款，贷款人可以迅速收走现金。现在它陷入了困境。借用的远远超过它需要返还的，并很快回天乏术。2008年9月15日，世界第四大投资银行永远地消失了。

作者简介作者Horatio Boedihardjo是牛津大学概率论博士生；他15岁进牛津大学读书，法律上需要由监护人陪读。最后父亲决定辞工陪读。他的弟弟March Tian Boedihardjo（沈诗钧）也是神童，9岁进入香港浸会大学数学系学习，13岁取得学士、硕士，现在是美国UCLA大学数学助理教授。